makalah aljabar matriks

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  LATAR BELAKANG

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubah kedalaman bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan.

Matrik pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrument yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matrik memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari inggris yang bernama arthur cayley (1821-1895). Yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transpormasi linier , awal dari semua ini matrik dianggap sebagai permainan karena matrik dapat diaplikasikan , sedangakan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembnagannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.

1.2 RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan uraian diatas kami menemukan permasalahan sebagai berikut.

1.      Apa pengertian dan definisi dari transpose dan determinan matrik?

2.      Bagaimana operasi penyelesaian dan permasalahan pada transpose dan determinan matrik ?

          1.3 TUJUAN PEMBAHASAN

 Berdasarkan uraian diatas kami menemukan permasalahan sebagai berikut.

           1.  menjelaskan tentang  pengertian dan definisi transpose dan determinan matrik

2. menjelaskan tentang jenis-jenis operasi penyelesaian dan permasalahan pada                                                                             transpose dan determinan matrik

BAB II

PEMBAHASAN

A.Pengertian Transpose Matriks

transpose matriks adalah ketika pada sebuah matriks dilakukan pertukaran antara dimensi kolom dan barisnya. Definisi lain dari matriks transpose adalah sebuah matriks yang didapatkan dengan cara memindahkan elemen-elemen pada kolom menjadi elemen baris dan sebaliknya. Biasanya sebuah matriks transpose disimbolkan dengan menggunakan lambang tanda petik (A') ataupun dengan huruf T kecil di atas (A^T). Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar di atas dapat didefinisikan bahwa matriks m x n berubah menjadi m x n. Jika kita perhatikan, elemen-elemen yang ada pada baris satu berubah posisi menjadi elemen kolom 1. Elemen pada baris 2 berubah menjadi elemen pada kolom 2, begitu juga dengan elemen pada baris ke 3 berubah posisi menjadi elemen kolom ke 3.

B.Sifat-sifat Matriks Transpose

            Transpose matriks memiliki beberapa sifat yang menjadi dasar di dalam operasi perhitungan matriks, yaitu:

(A + B)^T = A^T + B^T

(A^T)^T = A

λ(A^T) = (λA^T), bila λ suatu scalar

(AB)^T = B^T A^T

D.    Pengertian determinan

Determinan ialah nilai yang diperoleh dari matriks bujur sangkar A ( matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama ) yang dihitung dengan aturan tertentu, yang nilainya  bisa positif, nol atau negative. Matriks  bujursangkar tidak ada hitungan diterminannya [1]

Misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita devinisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A jumlah det(A) kita namakan determinan A.

Contoh 1

det = = a11-a21

det =  = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a21a21a33 – a11a23a32

caranya dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke kenan dan mengurangkan hasil kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.

E.Sifat-Sifat Determinan

1. suatu determinan nilainya tidak berubah jika suatu baris atau kolom ditambahkan dengan   baris atau kolom lain.

2. Jika suatu kolom atau baris dikalikan dengan skalar (K), maka nilai determinan akan menjadi (K) kali determinan semula.

3. Jika salah satu baris atau kolom terdiri dari 0, maka nilai detrminannya sama dengan 0.

4 Jika dua baris atau kolom sama pada determinan, maka nilai determinannya sama dengan 0.

5. Jika sepasang baris atau kolom saling ditukarkan, maka nilai determinannya berubah tanda, seperti dari positif menjadi negatif atau sebaliknya.

6. Determinan matriks satuan adalah satu

F. Determinan Matriks

Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A).

1.      Determinan Matriks Yang Berdimensi 2x2 ( Determinan Orde Dua)

Determinan matrik A (disingkst “det A”) yang berordo 2x2 diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal kedua oleh karna itu, determinan matrik A adalah

                                                   DetA= =ad-bc

Perlu dicatat hanya matriks kuadrat saja (matriks yang jumlah baris dan kolomnya     sama) yang memiliki determinan

2.      Determinan Matriks Yang Berdimensi 3X3 (Determinan Orde Tiga)

dihitung dengan aturan SARRUS, yakni dengan cara menempatkan dua kolom pertama dari determinan 3X3, lalu nilai determinan ini adalah jumlah hasil kali elemen pada tiap diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dikurangi dengan jumlah hasil kali elemen pada tiap diagonal sil kali elemen pada tiap diagonal dari kiri bawah ke kanan atas. Cara SARRUS ini hanya digunakan pada determinan 3X3.

Selain menggunakan aturan sarrus, determinen matrik A berordo

3 x 3 juga dapat dicari menggunakan elemen-elemen minokofaktor.

a.       determinan dengan minor dan kofaktor

A =tentukan detrminan A

pertama buat minor dari a11

 m11==detm=a22a33xa23a32

Kemudian kofaktor dari a11 adalah

C11= M11= a22a23xa23a32

Begitu juga dengan minor dari a32

m32==detm=a11a23xa13a21

Maka kofaktor dari a32 adalah c32= m32= xa11a23xa13a21

Secara keseluruhan , definisi determinan ordo 3x3 adalah  

Det (A)=a11c11+a12c12+a3c13

Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda cij±mij, cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan kenyataan bahwa penggunaan tanda yang berhubangan dengan C ij dan Mij berada dalam baris ke i dan kolom ke j dari susunan      

b.      Determinan dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama

Misalkan ada sebuah matriks a3x3

A=maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

Det(A)= -a21+a31 =a11(a22a33-a23a33) – a21(a21a33–a23a31)+a31(a21a32-a22a31)=a11a22a33+a21a23a31+a21(a21a33-a23a31)+a31(a21a32-a22a31)=a11a22a33+a21a23a31+a31a21a32-a22 - a33-a11a23a32

BAB 111

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Transpose matriks adalah ketika pada sebuah matriks dilakukan pertukaran antara dimensi kolom dan barisnya. Definisi lain dari matriks transpose adalah sebuah matriks yang didapatkan dengan cara memindahkan elemen-elemen pada kolom menjadi elemen baris dan sebaliknya.

Transpose matriks memiliki beberapa sifat yang menjadi dasar di dalam operasi perhitungan matriks, yaitu:

(A + B)^T = A^T + B^T

(A^T)^T = A

λ(A^T) = (λA^T), bila λ suatu scalar

(AB)^T = B^T A^T

               

Determinan Matriks di bedakan menjadi :

1.      Determinan Matriks Yang Berdimensi 2x2 ( Determinan Orde Dua).

2.      Determinan Matriks Yang Berdimensi 3X3 (Determinan Orde Tiga)

DAFTAR PUSTAKA

http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/pengertian-transpose-matriks-sifat-sifatnya-serta-contoh-soal-dan-pembahasan.html

http://www.uniksharianja.com/2015/03/transpose-matriks-dan-determinan-matriks.html

http://dianasafitrii.blogspot.co.id/2012/07/matriks-dan-determinan.html

Siswanto. 2013. Matematika. Solo: Tiga Serangkai.

---